Phương trình \(d_1\) : \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}\) dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\t=2-t\\z=3-t\end{matrix}\right.\)

Gọi A là giao điểm d1 và (P), tọa độ A thỏa mãn:

\(3-t-1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow A\left(3;0;1\right)\)

\(\overrightarrow{n_P}=\left(0;0;1\right)\) ; \(\overrightarrow{n_Q}=\left(1;1;1\right)\)

\(\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-1;1;0\right)\)

\(\left[\overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_P}\right]=\left(1;1;0\right)\)

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=t\\z=1\end{matrix}\right.\)

a. \(\int\dfrac{x^3}{x-2}dx=\int\left(x^2+2x+4+\dfrac{8}{x-2}\right)dx=\dfrac{1}{3}x^3+x^2+4x+8ln\left|x-2\right|+C\)

b. \(\int\dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\int\dfrac{xdx}{x^2\sqrt{x^2+1}}\)

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=u\Rightarrow x^2=u^2-1\Rightarrow xdx=udu\)

\(I=\int\dfrac{udu}{\left(u^2-1\right)u}=\int\dfrac{du}{u^2-1}=\dfrac{1}{2}\int\left(\dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+1}\right)du=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{u-1}{u+1}\right|+C\)

\(=\dfrac{1}{2}ln\left|\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}+1}\right|+C\)

c. \(\int\left(\dfrac{5}{x}+\sqrt{x^3}\right)dx=\int\left(\dfrac{5}{x}+x^{\dfrac{3}{2}}\right)dx=5ln\left|x\right|+\dfrac{2}{5}\sqrt{x^5}+C\)

d. \(\int\dfrac{x\sqrt{x}+\sqrt{x}}{x^2}dx=\int\left(x^{-\dfrac{1}{2}}+x^{-\dfrac{3}{2}}\right)dx=2\sqrt{x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+C\)

e. \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsin\left(x\right)+C\)

Câu 1: 

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\y\ne-2\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x-2+2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{x-1}-\dfrac{4}{y+2}=8\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-7}{y+2}=-1\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+2=7\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{7}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{60}{7}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=\dfrac{7}{10}\\y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{17}{10}\left(nhận\right)\\y=5\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{17}{10};5\right)\)

Câu 2: 

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(x^2=3x+m^2-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-m^2+1=0\)

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2+1\right)\)

\(=9-4\left(-m^2+1\right)=9+4m^2-4=4m^2+5>0\forall m\)

Vậy: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

1. Đề bài chắc chắn không chính xác, hàm này không thể tìm được nguyên hàm

2. 

Trên thực tế, do d và d' vuông góc nên thể tích sẽ được tính bằng:

\(V=\dfrac{1}{6}AB.CD.d\left(d;d'\right)\) trong đó \(d\left(d;d'\right)\) là k/c giữa 2 đường thẳng d và d' (có thể áp dụng thẳng công thức tọa độ)

Còn nguyên nhân dẫn tới công thức tính đó thì:

d có vtcp \(\left(7;5;3\right)\) còn d' có vtcp \(\left(2;-1;-3\right)\) nên d và d' vuông góc

Phương trình d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=7+7t'\\y=5+5t'\\z=3t'\end{matrix}\right.\)

Gọi (P) là mp chứa d' và vuông góc d thì pt (P) có dạng: 

\(7x+5y+3\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow7x+5y+3z-6=0\)

Gọi H là giao điểm (P) và d \(\Rightarrow H\left(\dfrac{105}{83};\dfrac{75}{83};-\dfrac{204}{83}\right)\)

Số xấu dữ quá.

Tính khoảng cách từ điểm H (đã biết) đến đường thẳng d' (đã biết), gọi kết quả là \(h\) (đây thực chất là khoảng cách giữa d và d').

Vậy \(V_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.AB.\dfrac{1}{2}.h.CD=...\)

Minh họa hình vẽ cho công thức thể tích bên trên:

Ta có: \(V_{ABCD}=V_{AHCD}-V_{BHCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}AH.S_{HCD}-\dfrac{1}{3}BH.S_{HCD}=\dfrac{1}{3}\left(AH-BH\right)S_{HCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}AB.S_{HCD}=\dfrac{1}{3}AB.\dfrac{1}{2}.d\left(H;CD\right).CD\)

\(=\dfrac{1}{6}.AB.CD.d\left(AB;CD\right)\)

Trong trường hợp A; B nằm khác phía so với H thì hoàn toàn tương tự:

\(V_{ABCD}=V_{AHCD}+V_{BHCD}=\dfrac{1}{3}AH.S_{HCD}+\dfrac{1}{3}BH.S_{HCD}\)

\(=\dfrac{1}{3}\left(AH+BH\right)S_{HCD}=\dfrac{1}{3}AB.S_{HCD}=...\) kết quả vẫn hoàn toàn giống bên trên

a, \(A=5\sqrt{\dfrac{1}{1}}+\dfrac{5}{2}\sqrt{20}+\sqrt{80}=5+5\sqrt{5}+4\sqrt{5}=5+9\sqrt{5}\)

b, Vì \(\sqrt{2}-1>0\Rightarrow\) Hàm số đồng biến

c, Hai đường thẳng đã cho song song khi \(\left\{{}\begin{matrix}m^2+2=6\\m\ne2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\)

d nhận (1;-2) là 1 vtcp

a. d' song song d nên nhận (1;-2) là 1 vtcp

Phương trình d': \(\dfrac{x+5}{1}=\dfrac{y-2}{-2}\)

b. d' vuông góc d nên nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtcp

Phương trình d': \(\dfrac{x+5}{2}=\dfrac{y-2}{1}\)

Bạn tự vẽ nhé.

\(a,\) 2 đồ thị hàm số \(y=2x,y=-3x+5\) giao nhau khi và chỉ khi :

\(2x=-3x+5\\ \Leftrightarrow5x=5\\ \Leftrightarrow x=1\)

Thay \(x=1\) vào \(y=2x\Leftrightarrow y=2\)

Vậy giao điểm của 2 đồ thị là \(\left(1;2\right)\)

\(b,\) 2 đồ thị hàm số \(y=3x+2,y=-\dfrac{1}{2}x+1\) giao nhau khi và chỉ khi :

\(3x+2=-\dfrac{1}{2}x+1\\ \Leftrightarrow\dfrac{7}{2}x=-1\\ \Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{7}\)

Thay \(x=-\dfrac{2}{7}\) vào \(y=3x+2\Rightarrow y=\dfrac{8}{7}\)

Vậy giao điểm của 2 đồ thị là \(\left(-\dfrac{2}{7};\dfrac{8}{7}\right)\)

\(c,\) 2 đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3}{2}x-2,y=-\dfrac{1}{2}x+2\) giao nhau khi và chỉ khi :

\(\dfrac{3}{2}x-2=-\dfrac{1}{2}x+2\\ \Leftrightarrow2x=4\\ \Leftrightarrow x=2\)

Thay \(x=2\) vào \(y=\dfrac{3}{2}x-2\Rightarrow y=1\)

Vậy giao điểm của 2 đồ thị là \(\left(2;1\right)\)

\(d,\) 2 đồ thị hàm số \(y=-2x+5,y=x+2\) giao nhau khi và chỉ khi :

\(-2x+5=x+2\\ \Leftrightarrow-3x=-3\\ \Leftrightarrow x=1\)

Thay \(x=1\) vào \(y=x+2\Rightarrow y=3\)

Vậy giao điểm của 2 đồ thị là \(\left(1;3\right)\)